想找个高大上的定理名字的，可惜实在搜不到。。。。只好用这么SB的名字了。。。。。东西很简单：当两数 $a,b$ 互质时， $ax+by\quad x>0,y>0$ 不能表示的最大数为 $ab-a-b$
不多废话，直接上证明吧！证明如下：
令 $ax+by = ab-a-b$ 可得特解 $x=-1, y=a-1$ 我们还可以求得通解 $x=-1-bt, y=a(t+1)-1$
由 $\begin{cases}-1-bt \ge 0 \\ a(t+1)-1\ge 0\end{cases} \Rightarrow \dfrac{1}{a}-1\le t\le -\dfrac{1}{b}$
不等号的两边都在 $[-1,0]$ ，而 $t$ 必须是整数。所以无解。
所以 $ab-a-b$ 不能被 $ax+by$ 表示。
现证明 $ab-a-b+i$ 可以被 $ax+by$ 表示。由 $a,b$ 互质可知：必存在两个整个 $m,n$ 使得 $ma+nb = 1$ 且其中必然有且只有一个负数。我们假设 $n$ 为负数。在这种情况下，原式可化为：
$$
ab-a-b+i(ma+nb) = (im-1)a+(a+in-1)b
$$
易知， $im-1 \ge 0$ 。所以我们只需证明 $a+in-1$ 非负。
假设 $|in| > ja, j>0$ 。则
$$
ima = i(1-nb)=i+|in|b \ge jab \Rightarrow im
\ge jb
$$
$$\begin{aligned}
ima + inb &= ima - |in|b \\
&= (ima - jab) - (|in|b-jab) \\
&=(im-jb)a - (|in|-ja) b = i
\end{aligned}$$
当 $|in|>ja$ 时，可以调整 $im, in$ 使得 $|in|<a$
故 $|in| \le a-1$ 。所以可以恒保证 $a+in-1\ge0$成立。
得证。